Algebra, Edition: 3., überarb. u. erw. Aufl. by Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

By Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Die vorliegende ?berarbeitete und erweiterte dritte Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten und symmetrische Funktionen werden angesprochen. Neu hinzugekommen sind zwei Abschnitte ?ber Kummer-Theorie, einschlie?lich einer Einf?hrung in den Kalk?l der Witt-Vektoren, und eine Herleitung der Formeln zur Aufl?sung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades. Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das sicherlich bald jedem Algebrastudenten unentbehrlich sein wird.

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Wir wollen im folgenden zeigen, daß '1.. und die Gruppen des Typs ZlmZ bis auf Isomorphie die einzigen zyklischen Gruppen sind. 1 H~ G gibt, wobei H eine Untergruppe und damit ein Normalteiler von '1.. ist. Damit reduziert sich die Bestimmung aller zyklischen Gruppen auf die Bestimmung aller Untergruppen von Z. Satz 3. Es sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt G'" - {z, ZlmZ, falls ord G = 00, falls ord G = m < 00. Die Gruppen '1.. und ZlmZ sind bis auf Isomorphie die einzigen zyklischen Gruppen.

Es ist daher angemessen, J(x) in diesem Falle als polynomiale Funktion auf C zu interpretieren. Probleme anderer Art ergeben sich, wenn man algebraische Gleichungen mit Koeffizienten aus einem endlichen Körper lF betrachten möchte; vgl. 8 zur Definition solcher Körper. Besteht lF etwa aus den Elementen Xl," . ,Xq , so ist q g(x) = II(x - Xj) = xq + ... xq j=l eine polynomiale Funktion, die auf ganz lF verschwindet, obwohl ihre "Koeffizienten" nicht alle Null sind. Hieraus folgt, daß man je nach betrachtetem Definitionsbereich von der polynomialen Funktion J(x), die einer algebraischen Gleichung (*) zugeordnet ist, nicht unbedingt auf die Koeffizienten der Gleichung (*) zurückschließen kann.

Als Unterring, der ein Körper ist. In ähnlicher Weise läßt sich auchC als Teilkörper von lHl deuten. (3) Es sei K ein Körper. Dann ist R = Knxn, die Menge der (nxn)-Matrizen mit Koeffizienten in K, unter der gewöhnlichen Addition und Multiplikation von Matrizen ein Ring mit Einheitengruppe R* = {A E K nxn ; detA =I- O}. R ist für n ~ 2 nicht kommutativ und besitzt in diesem Falle auch von Null verschiedene Nullteiler. Etwas allgemeiner können wir sagen, daß die Menge der Endomorphismen eines Vektorraumes V (oder auch einer abelschen Gruppe G) einen Ring bildet.

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