Algebra [Lecture notes] by Jakob Stix

By Jakob Stix

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Foundations of Higher Mathematics

This article introduces scholars to easy strategies of writing proofs and acquaints them with a few primary rules. The authors imagine that scholars utilizing this article have already taken classes within which they built the ability of utilizing effects and arguments that others have conceived. this article alternatives up the place the others left off -- it develops the scholars' skill to imagine mathematically and to tell apart mathematical considering from wishful considering.

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Sei π eine Uniformisierende für die Bewertung v. Die Polynome G = π −v(g) g und H = π −v(h) h sind per Definition der Gauß-Bewertung aus R[T ]. Es gilt aber auch die Zerlegung in R[T ] f = π v(f ) GH. Da sich f nach Voraussetzung in R[T ] nicht als Produkt nichtkonstanter Polynome schreiben läßt, muß G oder H konstant sein. Damit ist auch g oder h konstant und f irreduzibel in K[T ]. 11 (Eisensteinkriterium). Sei R der Bewertungsring einer diskreten Bewertung v auf dem Körper K. Sei f = ni=0 ai T i ∈ K[T ] ein Polynom mit   0 i = n, > 0 0 < i < n sofern ai = 0, v(ai ) =  1 i = 0.

Sei R ein Ring und a ein Ideal in R. Dann gibt es ein maximales Ideal m ⊆ R, das a enthält. Beweis. Die Menge M = {b ⊆ R ; b ist Ideal in R, a ⊆ b, b = R} ist bezüglich Inklusion induktiv geordnet. In der Tat, wenn bi mit i ∈ I eine total geordnete Teilmenge von echten Idealen ist, dann ist b= bi i∈I eine obere Schranke wie wir nun beweisen. Es ist b ein Ideal, denn für x, y ∈ b gibt es i, j mit x ∈ bi und y ∈ bj . Weil die Ideale (bi )i∈I total geordnet sind, gilt oBdA bi ⊆ bj und damit x + y ∈ bj ⊆ b.

Maximale Ideale. Als Anwendung des Lemma von Zorn beweisen wir die existenz maximaler Ideale. Für die Begriffe zu Ordnungsrelationen auf Mengen verweisen wir auf Anhang A. 6. Ein maximales Ideal ist ein Ideal m in einem Ring R, so daß m = R und für jedes Ideal a mit m ⊆ a ⊆ R gilt a = m oder a = R. Ein maximales Ideal im Ring R ist somit ein maximales Element unter den echten Idealen (= R) bezüglich der durch die Inklusion gegebenen partiellen Ordnung. 7. Sei R ein Ring und a ein Ideal in R. Dann gibt es ein maximales Ideal m ⊆ R, das a enthält.

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